Lukujen hajotelmat: mitä ne ovat ja miten ne opetetaan

Ota viisi pientä esinettä, vaikkapa nappia tai rusinaa, ja kuppi. Piilota osa kupin alle, kun lapsi katsoo muualle. Näytä jäljelle jääneet ja kysy: ”Montako piilossa on?” Viisi, joka jakautuu näkyviin ja kupin alla oleviin, on hajotelma.

Alla olevat ideat sopivat 5-7-vuotiaille, eli suunnilleen Yhdysvaltain kindergartenin ja 1. luokan ikäisille. Ikä on vain suuntaa antava. Lapset pääsevät tähän vaiheeseen eri aikoina, ja se on aivan hyvä.

Mikä on hajotelma?

Hajotelma on luku jaettuna kahteen osaan. Kokonaisuus on suurempi luku. Osat ovat ne kaksi pienempää lukua, jotka yhdessä muodostavat sen.

Se piirretään usein kolmena ympyränä. Kokonaisuus on ylimmässä ympyrässä. Kaksi viivaa johtaa alas kahteen pienempään ympyrään, yksi kummallekin osalle.

Kympin kohdalla ylös voi kirjoittaa 10 ja alle 7 ja 3. Lue se näin: ”7 ja 3 on 10.”

Suomen koulussa puhutaan lukujen hajotelmista ja kymppipareista. Englanninkielisissä kirjoissa näkee usein nimen number bond, yhdysvaltalaisissa tehtävissä usein part-part-whole, ja vastaan voi tulla myös number partners tai number pair.

Common Corein kindergartenin laskutoimitusstandardi (K.OA.A.3) pyytää lapsia jakamaan luvut 10:een asti pareiksi usealla tavalla esineiden tai piirrosten avulla ja kirjaamaan jokaisen jaon piirroksena tai laskulauseena. Sen oma esimerkki on 5 = 2 + 3 ja 5 = 4 + 1. Se on hajotelmia kaikilta osin, vaikka nimeä ei mainita.

Miksi hajotelmat ovat tärkeitä?

Hajotelma pitää yhteen- ja vähennyslaskun samassa kuvassa. Jos 7 ja 3 on 10, niin 10 ottaa pois 3 jättää 7. Lapsi, joka näkee tämän, osaa pitää vähennyslaskua samoina lukuina luettuna toiseen suuntaan.

Tämä yhteys ei ole pienelle lapselle ilmeinen. Tutkimuksessa, jossa oli 44 lasta ikäluokissa 6 ja 7 vuotta, Ann Dowker havaitsi, että yhteen- ja vähennyslaskun yhteyden käyttäminen (jos 7 + 3 = 10, mitä on 10 - 3?) oli lapsille yksi vaikeimmista oikoteistä. Siksi se kannattaa näyttää lapselle suoraan.

Samat parit auttavat myös kympin ylitykseen. Yhdysvaltain 1. luokan standardi (1.OA.C.6) mainitsee strategiana ”kympin täydentämisen” esimerkillä 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14. Tämä on helpompaa, kun lapsi jo tietää, että 8 ja 2 on 10.

Hajotelmat viiteen ja kymmeneen

Aloita viidestä. Se on tarpeeksi pieni mahtuakseen yhteen käteen. Viidellä on kuusi jakoa: 0 ja 5, 1 ja 4, 2 ja 3, 3 ja 2, 4 ja 1 sekä 5 ja 0.

Siirry sitten kymppiin. Tässä ovat kaikki kympin hajotelmat kirjoitettuna kumpaankin suuntaan:

Rivejä on 11, mutta eri kymppipareja vain kuusi, koska 3 ja 7 on sama pari kuin 7 ja 3. Kerro tämä lapselle jo alussa. 5 ja 5 on listan tuplapari, ainoa pari, jossa osat ovat yhtä suuret. Myös kuvio näkyy helposti: kun toinen osa kasvaa yhdellä, toinen pienenee yhdellä.

Kindergartenin standardi (K.OA.A.4) pyytää lasta löytämään mille tahansa luvulle 1:stä 9:ään sen luvun, joka täydentää sen kymmeneksi. Seuraava kohta (K.OA.A.5) vaatii sujuvaa yhteen- ja vähennyslaskua 5:n sisällä, mikä on yksi syy lisää aloittaa 5:n hajotelmista.

Miten hajotelmat opetetaan askel askeleelta?

Etene siitä, mihin voi koskea, kuviin ja sitten lukuihin. Jokainen vaihe voi kestää päiviä tai viikkoja. Pysy yhdessä, kunnes se tuntuu helpolta.

1. Oikeat esineet (5-vuotiaasta ylöspäin). Ota viisi tai kuusi laskumerkkiä. Jaa ne kahteen kasaan ja sano ääneen, mitä näet: ”4 ja 2 on 6.” Sekoita ne ja jaa toisin. Lapsi voi selvittää kunkin summan laskemalla esineet yksi kerrallaan, ja se sopii tässä vaiheessa hyvin.
2. Sormet ja kymmenruudukko (5-6-vuotiaat). Nosta 10 sormea ja taita osa alas. ”Seitsemän ylhäällä, montako alhaalla?” Kymmenruudukko on laatikko, jossa on kaksi riviä ja viisi ruutua per rivi. Täytä osa ruuduista merkeillä ja kysy, montako on tyhjää.
3. Piirrokset (5-6-vuotiaat). Piirrä kolme ympyrää ja pisteitä niiden sisään. Anna lapsen piirtää osien pisteet.
4. Luvut ympyröissä (6-7-vuotiaat). Kirjoita kokonaisuus ja yksi osa. Jätä toinen ympyrä tyhjäksi, jotta lapsi täyttää sen.
5. Nopea muistaminen (6-7-vuotiaat). Kysy ääneen: ”7 ja mikä on 10?” Laske voitoksi, kun vastaus tulee ilman yhdestä alkaen laskemista.

Jätä välillä satunnainen ympyrä tyhjäksi. Joskus puuttuu kokonaisuus, joskus osa. Jos lapsesi täyttää aina vain alimman ympyrän, piilota välillä kokonaisuus, jottei kysymys näytä aina samalta.

Viisi hajotelmapeliä kotiin

Nämä vievät muutaman minuutin ja tarvitsevat tavallisia kodin tarvikkeita. Esikoulun matematiikkapelien kirjoituksessa on lisää ideoita 5-6-vuotiaille.

• Kaksi kuppia (5-6-vuotiaat). Tämä on isompi versio alun kuppipelistä. Laita 10 merkkiä kahden kupin alle, nosta toinen ja kysy, montako on toisen alla. Jos ensimmäisen alla on 6, toisen alla on 4. Nosta se tarkistaaksenne.
• Ravista ja kaada (5-6-vuotiaat). Maalaa viiden pavun toinen puoli tai käytä kaksivärikkäitä merkkejä. Ravista ne kupissa ja kaada. Nimeä jako: ”3 punaista ja 2 valkoista on 5.” Viidellä merkillä on 6 eri jakoa, jos 3 punaista ja 2 valkoista lasketaan eri jaoksi kuin 2 punaista ja 3 valkoista.
• Hajotelmajuna (5-7-vuotiaat). Tee 10 palikasta juna. Katkaise se kahtia selän takana, näytä toinen pala ja kysy, kuinka pitkä piilossa oleva pala on.
• Kymppi korteilla (6-7-vuotiaat). Käytä kortteja 1-9 ja käännä osa kuvapuoli ylöspäin. Etsikää vuorotellen kaksi korttia, jotka yhdessä ovat 10, esimerkiksi 4 ja 6. Meidän matematiikkapelien lapsille listassamme on täydelliset säännöt.
• Välipalahajotelmat (5-7-vuotiaat). ”Minulla on 8 viinirypälettä. Jos syön 3, montako jää?” Käännä sitten kysymys toisin päin: ”3 ja mikä on 8?”

Voit myös pelata yhtä heti tässä. Alla olevassa pelissä yksi ympyrä on tyhjä ja lapsi valitsee puuttuvan luvun. Pisteet-painike näyttää kokonaisuuden pisteinä, jolloin lapsi voi laskea puuttuvan osan. Jokaisen vastauksen jälkeen peli näyttää hajotelmasta syntyvät laskut.

Hajotelmakaverit

Hajotelma näyttää, miten kokonaisuus jakautuu kahteen osaan. Etsi puuttuva luku.

Mikä luku piilottelee kysymysmerkin takana?

10:n sisälläTäydennä 10:ksiTäydennä 20:ksi

0 / 0

Näytä pisteet

0243

Laskuperhe

•  
•  

Seuraava

Aloita tilasta ”10:n sisällä” ja kokeile tilaa ”Täydennä 20:ksi”, kun kymmenen hajotelmat tuntuvat helpoilta.

Kympin hajotelmista 20:n hajotelmiin

20:n hajotelmat tulevat yleensä 6-7-vuotiaana (1. luokka), ja ne kasvavat suoraan kympin hajotelmista. Jos 6 ja 4 on 10, niin 16 ja 4 on 20. 16 on yksi kymmen ja 6 ykköstä, ja 4 täyttää toisen kympin. Sama kuvio toistuu koko listassa: 13 ja 7, 18 ja 2, 15 ja 5.

Näytä se kahdella kymmenruudukolla tai 20 palikalla kahtena 10 palikan junana. Täytä toinen ruudukko ja 6 ruutua seuraavasta. Tyhjät ruudut ovat osa, joka vielä puuttuu.

Eri pareja, jotka tekevät 20, on 11, alkaen luvuista 0 ja 20 aina lukuihin 10 ja 10. Älä käy kaikkia läpi kerralla. Yksi uusi pari viikossa riittää hyvin.

Kymppiparien osaaminen kannattaa uudestaan, kun laskussa ylitetään kymmenen. Otetaan 9 + 5. Yhdeksän tarvitsee 1 lisää kympiksi, joten jaa 5 lukuihin 1 ja 4: 9 + 1 = 10 ja sitten 10 + 4 = 14. Tämä on 1. luokan standardin ”kympin täydentämisen” strategia, ja se perustuu kymppipareihin.

Miten hajotelmista päästään vähennyslaskuun

Jokaisesta hajotelmasta syntyy neljä laskua, joita kutsutaan usein laskuperheeksi. Tämä sopii 6-7-vuotiaille, kun kympin hajotelmat tuntuvat tutuilta. Hajotelmasta 10, 7 ja 3 syntyy:

• 7 + 3 = 10
• 3 + 7 = 10
• 10 - 7 = 3
• 10 - 3 = 7

Yhdysvaltain 1. luokan standardi (1.OA.B.4) kuvaa vähennyslaskua näin: jotta saat selville 10 - 8, etsi luku, joka 8:aan lisättynä on 10. Se luku on 2. Lapsi, joka tuntee hajotelman 8 ja 2, tietää vastauksen jo.

Kysy samasta hajotelmasta kaikilla neljällä tavalla samalla keskustelulla. ”7 ja 3 on 10. Mitä on siis 10 ottaa pois 3?” Odota ja anna lapsen löytää se itse.

Dowkerin tutkimus viittaa siihen, että tämä yhteys on vaikea 6-7-vuotiaille, joten palaa siihen usein.

Yleisimmät hajotelmavirheet ja nopeat korjaukset

• Aina yhdestä alkaen laskeminen. Lapsi laskee kaikki 10 pistettä löytääkseen puuttuvan osan. Se toimii, mutta on hidasta. Peitä tunnettu osa kädellä ja laske vain puuttuva osa, ja kokeile sitten sanoa vastaus ennen laskemista.
• Nollan unohtaminen. ”5:tä ei voi tehdä 5:llä.” Voi: 5 ja 0. Piilota välillä kaikki merkit kupin alle ja kysy, montako näkyy.
• Kokonaisuuden ja osan sekoittaminen. Lapsi laskee yhteen 10 ja 7, vaikka 10 on kokonaisuus. Osoita ylintä ympyrää ja kysy: ”Onko tämä iso luku vai sen pala?” Piirrä kokonaisuudelle isompi ympyrä.
• Ajatus, että 7 ja 3 sekä 3 ja 7 ovat eri asioita. Käännä palikkajuna ympäri. Se on sama juna, joten se on sama hajotelma.
• Arvaaminen. Jos lapsi alkaa arvata, tehtävä on ehkä edennyt liian nopeasti. Palaa muutamaksi päiväksi askel taaksepäin, esineisiin tai kymmenruudukkoon. Pidä tunnelma kevyenä ja lopeta tehtävään, jonka lapsi osaa.

Jos haluat lisäharjoitusta laskuihin, Math Learner on matematiikan harjoittelusovellus 3-10-vuotiaille lapsille. Sen Yhteenlasku- ja Vähennyslasku-maailmoissa on laskuja, joissa on neljä vastausvaihtoehtoa, ja kolmannesta vaikeustasosta alkaen mukana on myös puuttuvan luvun kysymyksiä. Jokaisella tasolla on kahdeksan kysymystä, väärä vastaus näyttää oikean, ja jokaisen maailman 15 ensimmäistä tasoa ovat ilmaisia, yksi oppitunti päivässä.

Siinä ei ole mainoksia, tiliä eikä seurantatyökaluja. Voit ladata sen täältä ja pelata yhden tason lapsesi kanssa.

Lyhyesti

Hajotelma on kaksi osaa ja kokonaisuus. Aloita oikeista esineistä ja 5:n hajotelmista, siirry kymppiin sormilla ja kymmenruudukolla ja sitten 20:een kahdella vierekkäisellä ruudukolla. Kysy jokainen hajotelma kaikilla neljällä tavalla ja palaa askel taaksepäin aina, kun arvaaminen alkaa. Jos haluat harjoitusta lautapelien muodossa pienellä kilpailulla, katso matematiikkalautapelit lapsille.