Décomposer un nombre en deux parties : le schéma des « bonds » et comment l'enseigner

Prenez cinq petits objets, comme des boutons ou des raisins secs, et un gobelet. Cachez-en quelques-uns sous le gobelet pendant que votre enfant détourne les yeux. Montrez ce qui reste et demandez : « Combien y en a-t-il de cachés ? » Cinq, partagé entre ceux que l’on voit et ceux qui sont sous le gobelet, c’est une décomposition de nombre.

Les idées ci-dessous conviennent à des enfants de 5 à 7 ans, à peu près de la grande section au kindergarten et au grade 1 américains. Les âges ne sont qu’un repère. Les enfants arrivent à ce stade à des moments différents, et c’est très bien ainsi.

Qu’est-ce qu’une décomposition de nombre ?

Décomposer un nombre, c’est le couper en deux parties. Le tout est le plus grand nombre. Les parties sont les deux nombres plus petits qui le forment.

On le dessine souvent avec trois cercles. Le tout se place dans le cercle du haut. Deux traits descendent vers deux cercles plus petits, un pour chaque partie.

Pour 10, vous pouvez écrire 10 en haut, puis 7 et 3 en dessous. On le lit : « 7 et 3 font 10. »

Selon les livres, vous verrez « partie-tout », « décomposition » ou « complément ». Les manuels anglo-saxons parlent de « number bond », et les fiches américaines disent souvent part-part-whole. C’est la même idée.

La norme américaine Common Core pour le kindergarten (K.OA.A.3) demande aux enfants de décomposer les nombres jusqu’à 10 en deux parties de plusieurs façons, avec des objets ou des dessins, et de noter chaque décomposition par un dessin ou une égalité. Son propre exemple est 5 = 2 + 3 et 5 = 4 + 1. C’est exactement une décomposition de nombre, sans le nom.

Pourquoi les décompositions comptent-elles ?

Une décomposition réunit l’addition et la soustraction dans une seule image. Si 7 et 3 font 10, alors 10 moins 3 donne 7. Un enfant qui voit ce lien peut traiter la soustraction comme les mêmes faits lus dans l’autre sens.

Ce lien n’a rien d’évident pour les jeunes enfants. Dans une étude auprès de 44 enfants de 6 et 7 ans, Ann Dowker a constaté qu’utiliser le lien entre ajouter et enlever (si 7 + 3 = 10, combien font 10 - 3 ?) comptait parmi les raccourcis les plus difficiles pour eux. Cela vaut donc la peine de le montrer directement à votre enfant.

Les mêmes paires aident aussi à dépasser 10. La norme du grade 1 (1.OA.C.6) cite « faire dix » comme stratégie, avec l’exemple 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14. Ce passage est plus facile quand votre enfant sait déjà que 8 et 2 font 10.

Décompositions de 5 et compléments à 10

Commencez par 5. C’est assez petit pour tenir dans une main. Cinq a six décompositions : 0 et 5, 1 et 4, 2 et 3, 3 et 2, 4 et 1, et 5 et 0.

Passez ensuite à 10. Voici tous les compléments à 10, écrits dans les deux sens :

Cela fait 11 lignes, mais seulement six paires différentes, car 3 et 7 est la même paire que 7 et 3. Faites-le remarquer tôt. 5 et 5 est le double de la liste, la seule paire à deux parties égales. On voit aussi bien la régularité : quand une partie augmente de 1, l’autre diminue de 1.

La norme du kindergarten (K.OA.A.4) demande de trouver, pour tout nombre de 1 à 9, le nombre qui fait 10 avec lui. La ligne suivante (K.OA.A.5) demande d’additionner et de soustraire avec aisance dans la limite de 5, une raison de plus de commencer par le 5.

Comment enseigner les décompositions pas à pas ?

Allez de ce que l’on touche, aux images, puis aux nombres. Chaque étape peut durer des jours ou des semaines. Restez sur l’une d’elles jusqu’à ce qu’elle devienne facile.

1. Des objets réels (dès 5 ans). Prenez cinq ou six jetons. Séparez-les en deux tas et dites ce que vous voyez : « 4 et 2 font 6. » Mélangez-les et séparez-les autrement. Votre enfant peut trouver chaque total en comptant les objets un par un, ce qui est très bien à ce stade.
2. Les doigts et le cadre à 10 (de 5 à 6 ans). Levez 10 doigts et repliez-en quelques-uns. « Sept levés, combien de repliés ? » Un cadre à 10 est une boîte de deux rangées de cinq cases. Remplissez quelques cases avec des jetons et demandez combien sont vides.
3. Des dessins (de 5 à 6 ans). Dessinez les trois cercles et des points à l’intérieur. Laissez votre enfant dessiner les points des parties.
4. Des nombres dans les cercles (de 6 à 7 ans). Écrivez le tout et une partie. Laissez l’autre cercle vide pour que votre enfant le remplisse.
5. Le rappel rapide (de 6 à 7 ans). Demandez à voix haute : « 7 et combien font 10 ? » Comptez-le comme une réussite quand la réponse vient sans compter depuis 1.

Laissez un cercle vide au hasard. Parfois il manque le tout, parfois une partie. Si votre enfant ne remplit jamais que le cercle du bas, cachez de temps en temps le tout pour que la question ne se ressemble pas toujours.

Cinq jeux de décomposition à la maison

Ils prennent quelques minutes et utilisent ce qu’on trouve dans la plupart des maisons. L’article sur les jeux de maths pour la grande section propose d’autres idées pour les 5 à 6 ans.

• Deux gobelets (de 5 à 6 ans). C’est une version plus grande du jeu du gobelet du début. Posez 10 jetons sous deux gobelets, soulevez-en un et demandez combien il y en a sous l’autre. S’il y en a 6 sous le premier, il y en a 4 sous le second. Soulevez-le pour vérifier.
• Secouer et renverser (de 5 à 6 ans). Peignez une face de cinq haricots, ou utilisez des jetons bicolores. Secouez-les dans un gobelet puis renversez. Nommez la décomposition : « 3 rouges et 2 blancs font 5. » Avec 5 jetons, il y a 6 décompositions différentes, si 3 rouges et 2 blancs comptent autrement que 2 rouges et 3 blancs.
• Le train qui se casse (de 5 à 7 ans). Faites un train de 10 briques de construction. Cassez-le en deux derrière votre dos, montrez un morceau et demandez quelle est la longueur du morceau caché.
• Faire 10 avec des cartes (de 6 à 7 ans). Prenez les cartes de 1 à 9 et posez-en quelques-unes face visible. Chacun son tour, trouvez-en deux qui font 10, comme 4 et 6. Notre liste de jeux de maths pour enfants donne toutes les règles.
• Les décompositions du goûter (de 5 à 7 ans). « J’ai 8 raisins. Si j’en mange 3, combien en reste-t-il ? » Puis retournez la question : « 3 et combien font 8 ? »

Vous pouvez aussi jouer ici même. Dans le jeu ci-dessous, un cercle est vide et votre enfant choisit le nombre manquant. Un bouton de points montre le tout sous forme de points, pour qu’un enfant puisse compter ce qui manque. Après chaque réponse, le jeu affiche les calculs qui découlent de la décomposition.

Les copains des décompositions

Un nombre se décompose en deux parties. Trouve le nombre manquant.

Quel nombre se cache derrière le point d'interrogation ?

Jusqu'à 10Faire 10Faire 20

0 sur 0

Montrer les points

0243

La famille de calculs

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Suivant

Commencez par « Jusqu’à 10 » et essayez « Faire 20 » quand les compléments à 10 vous semblent faciles.

Des compléments à 10 aux compléments à 20

Les compléments à 20 arrivent en général vers 6 à 7 ans (grade 1), et ils découlent directement de ceux de 10. Si 6 et 4 font 10, alors 16 et 4 font 20. 16, c’est une dizaine et 6 unités, et le 4 remplit la deuxième dizaine. La même régularité parcourt toute la liste : 13 et 7, 18 et 2, 15 et 5.

Montrez-le avec deux cadres à 10, ou 20 briques en deux trains de 10. Remplissez un cadre, puis 6 cases du suivant. Les cases vides sont la partie qui manque encore.

Il y a 11 paires différentes qui font 20, de 0 et 20 jusqu’à 10 et 10. Ne les travaillez pas toutes d’un coup. Une nouvelle paire par semaine, c’est largement assez.

Connaître les compléments à 10 sert encore quand un calcul dépasse 10. Prenez 9 + 5. Neuf a besoin de 1 de plus pour faire 10, alors décomposez 5 en 1 et 4 : 9 + 1 = 10, puis 10 + 4 = 14. C’est la stratégie « faire dix » de la norme du grade 1, et elle repose sur les compléments à 10.

Comment les décompositions mènent à la soustraction

Chaque décomposition donne quatre calculs, un ensemble souvent appelé famille de calculs. Cela convient aux 6 à 7 ans, une fois les compléments à 10 devenus familiers. La décomposition 10, 7 et 3 donne :

• 7 + 3 = 10
• 3 + 7 = 10
• 10 - 7 = 3
• 10 - 3 = 7

La norme du grade 1 (1.OA.B.4) décrit la soustraction ainsi : pour trouver 10 - 8, cherchez le nombre qui fait 10 quand on l’ajoute à 8. Ce nombre est 2. Un enfant qui connaît la décomposition 8 et 2 a déjà la réponse.

Posez la question sur une même décomposition de quatre façons, dans la même conversation. « 7 et 3 font 10. Alors, combien font 10 moins 3 ? » Faites une pause et laissez votre enfant chercher.

L’étude de Dowker suggère que ce lien est difficile à 6 et 7 ans, alors attendez-vous à y revenir souvent.

Les erreurs courantes et comment les corriger

• Compter depuis 1 à chaque fois. Votre enfant compte les 10 points pour trouver ce qui manque. Ça marche, mais c’est lent. Couvrez la partie connue avec la main et comptez seulement ce qui manque, puis essayez de dire la réponse avant de compter.
• Oublier zéro. « On ne peut pas faire 5 avec 5. » Si : 5 et 0. Cachez de temps en temps tous les jetons sous le gobelet et demandez combien on en voit.
• Confondre le tout et une partie. Votre enfant additionne 10 et 7 alors que 10 est le tout. Montrez le cercle du haut et demandez : « C’est le grand nombre ou un morceau ? » Dessinez un cercle plus grand pour le tout.
• Croire que 7 et 3 et 3 et 7 sont des faits différents. Retournez un train de briques. C’est le même train, donc c’est la même décomposition.
• Deviner au hasard. Si votre enfant se met à deviner, la tâche est peut-être trop avancée. Revenez une étape en arrière, aux objets ou au cadre à 10, pendant quelques jours. Gardez un ton léger et terminez sur une réussite.

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En bref

Une décomposition, c’est deux parties et un tout. Commencez avec de vrais objets et le 5, passez à 10 avec les doigts et le cadre à 10, puis à 20 avec deux cadres côte à côte. Posez chaque décomposition dans les quatre sens, et revenez en arrière dès que les devinettes s’installent. Pour s’entraîner avec un plateau et un peu de compétition, voyez les jeux de plateau pour enfants.