數的分解與合成是什麼？怎麼教孩子湊十

拿 5 個小東西，像鈕扣或葡萄乾，再拿一個杯子。趁孩子轉頭的時候，把幾個藏到杯子底下。接著把剩下的給孩子看，問：「藏起來的有幾個？」5 拆成看得見的和杯子底下的，這就是數的分解與合成。

下面的點子適合 5 到 7 歲，大約是美國的幼兒園到一年級。年齡只是大概的參考。每個孩子到達這一步的時間不同，這都沒關係。

什麼是數的分解與合成？

數的分解與合成，就是把一個數拆成兩部分。總數是比較大的那個數，部分是湊成它的兩個比較小的數。

通常會畫成三個圓圈。總數放在上面的圓圈，兩條線往下連到兩個小圓圈，一個圓圈放一個部分。

以 10 為例，你可以在上面寫 10，下面寫 7 和 3。讀作「7 和 3 湊成 10」。

臺灣的課本和老師常說「分解與合成」，家長也常說「湊十」或「湊成 10」。英文書常稱 number bond，美國的練習本則常寫 part-part-whole。

美國共同核心標準的幼兒園運算標準（K.OA.A.3）要求孩子用物品或圖畫，以不只一種方式把 10 以內的數拆成兩部分，並用圖畫或算式記下每一種拆法。它自己舉的例子是 5 = 2 + 3 和 5 = 4 + 1。這就是數的分解與合成，只是名字不同。

為什麼數的分解與合成很重要？

一張分解與合成圖，把加法和減法放在同一幅畫裡。如果 7 和 3 湊成 10，那 10 拿走 3 就剩 7。看出這一點的孩子，會把減法當成同樣的事實反過來讀。

這個關聯對年幼的孩子並不明顯。在一項研究 44 位 6 到 7 歲孩子的實驗中，Ann Dowker 發現，運用加減之間的關係（如果 7 + 3 = 10，那 10 - 3 是多少？）是孩子最難掌握的捷徑之一。所以直接示範給孩子看，很值得。

同樣的數對也能幫孩子越過 10。一年級標準（1.OA.C.6）把「湊十」列為一種策略，例子是 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14。如果孩子已經知道 8 和 2 湊成 10，這一步就容易多了。

5 和 10 的湊數

先從 5 開始。它小到一隻手就能握住。5 有六種拆法：0 和 5、1 和 4、2 和 3、3 和 2、4 和 1，以及 5 和 0。

接著進到 10。下面是 10 的所有湊數，兩個方向都寫出來：

表裡有 11 列，但只有六組不同的數對，因為 3 和 7 與 7 和 3 是同一組。要早一點告訴孩子這件事。5 和 5 是列表裡的「雙倍」，也是唯一兩部分一樣大的數對。規律也很好看：一個部分增加 1，另一個部分就減少 1。

幼兒園標準（K.OA.A.4）要求孩子，對 1 到 9 的任何數，找出和它湊成 10 的數。下一條（K.OA.A.5）要求流暢地做 5 以內的加減，這也是先從 5 的湊數開始的另一個理由。

怎麼一步一步教數的分解與合成？

從摸得到的東西，到圖畫，再到數字。每一步可能花幾天，也可能花幾週。停在同一步，直到孩子覺得容易。

1. 真實的物品（5 歲以上）。 拿 5 或 6 個圓片，分成兩堆，把看到的說出來：「4 和 2 湊成 6。」把它們混在一起，換一種方式再分。孩子可以一個一個數物品來找總數，這個階段這樣做完全可以。
2. 手指和十格框（5 到 6 歲）。 舉起 10 根手指，再折下幾根。「舉著 7 根，那折下去幾根？」十格框是兩排各五格的方框。在幾個格子裡放上圓片，再問有幾格是空的。
3. 圖畫（5 到 6 歲）。 畫出三個圓圈，在裡面畫圓點。部分的圓點讓孩子自己畫。
4. 圓圈裡的數字（6 到 7 歲）。 寫下總數和其中一個部分，另一個圓圈留空，讓孩子填。
5. 快速回答（6 到 7 歲）。 大聲問：「7 和幾湊成 10？」孩子不用從 1 開始數就答得出來，就算是一次成功。

可以隨機留空其中一個圓圈。有時缺的是總數，有時缺的是部分。如果孩子總是只填下面的圓圈，偶爾把總數藏起來，題目看起來就不會老是一個樣。

五個在家玩的分解與合成遊戲

這些遊戲只要幾分鐘，用的是大多數家裡都有的東西。幼兒園數學遊戲那篇有更多適合 5 到 6 歲的點子。

• 兩個杯子（5 到 6 歲）。 這是開頭那個杯子遊戲的加大版。把 10 個圓片放在兩個杯子底下，掀開一個，問另一個底下有幾個。如果第一個杯子底下有 6 個，第二個底下就有 4 個。掀開來檢查。
• 搖一搖，倒出來（5 到 6 歲）。 把 5 顆豆子的一面塗上顏色，或用雙色圓片。放在杯子裡搖一搖，再倒出來。說出這個拆法：「3 個紅的和 2 個白的湊成 5。」5 個圓片有 6 種不同的拆法，只要把 3 紅 2 白和 2 紅 3 白算成不同的。
• 積木拆拆樂（5 到 7 歲）。 用 10 塊積木接成一列。在背後把它掰成兩段，拿出其中一段給孩子看，問藏起來的那段有多長。
• 用撲克牌湊十（6 到 7 歲）。 用 1 到 9 的牌，把幾張面朝上排好。輪流找兩張加起來是 10 的，像 4 和 6。我們的兒童數學遊戲清單有完整的玩法。
• 點心時間的湊數（5 到 7 歲）。 「我有 8 顆葡萄。如果我吃掉 3 顆，還剩幾顆？」再反過來問：「3 和幾湊成 8？」

你也可以就在這裡玩一個。下面的遊戲裡有一個圓圈是空的，孩子要選出缺的數字。「圓點」按鈕會把總數顯示成圓點，孩子可以數出缺的部分。每次作答後，遊戲會顯示由這個分解與合成變出來的算式。

分解與合成小夥伴

分解與合成，是看一個總數怎麼拆成兩部分。找出缺的數字。

問號後面藏的是哪個數字？

10 以內湊成 10湊成 20

0 / 0

顯示圓點

0243

算式家族

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下一題

先從「10 以內」開始，等孩子覺得 10 的湊數很容易，再試試「湊成 20」。

從 10 的湊數到 20 的湊數

20 的湊數通常在 6 到 7 歲（一年級）出現，而且是從 10 的湊數自然長出來的。如果 6 和 4 湊成 10，那 16 和 4 就湊成 20。16 是一個十和 6 個一，而 4 把第二個十補滿。整張列表都是同樣的規律：13 和 7、18 和 2、15 和 5。

可以用兩個十格框來示範，或用 20 塊積木排成兩列各 10 塊。先填滿一個框，再在下一個框填 6 格。空著的格子，就是還缺的部分。

能湊成 20 的不同數對有 11 組，從 0 和 20 到 10 和 10。不要一次全部練。每週學一組新的就很夠了。

當算式越過 10 的時候，10 的湊數又派上用場。以 9 + 5 為例。9 還差 1 就湊成 10，所以把 5 拆成 1 和 4：9 + 1 = 10，再 10 + 4 = 14。這就是一年級標準裡的「湊十」策略，而它靠的是熟悉 10 的湊數。

數的分解與合成怎麼通向減法

每個分解與合成，都能變出四個算式，這一組常被稱為算式家族（fact family）。這適合 6 到 7 歲、對 10 的湊數已經熟悉的孩子。10、7 和 3 這組可以變出：

• 7 + 3 = 10
• 3 + 7 = 10
• 10 - 7 = 3
• 10 - 3 = 7

一年級標準（1.OA.B.4）是這樣描述減法的：要算 10 - 8，就找出和 8 相加得 10 的數。那個數是 2。知道 8 和 2 湊成 10 的孩子，已經有答案了。

在同一次聊天裡，把一個分解與合成用四種方式都問一遍。「7 和 3 湊成 10。那 10 拿走 3 是多少？」停一下，讓孩子自己去找。

Dowker 的研究顯示，這個關聯在 6 到 7 歲時並不容易，所以要預期自己會常常回頭再練。

常見的迷思與快速修正

• 每次都從 1 開始數。 孩子把 10 個圓點全部數一遍才找到缺的部分。這樣答得出來，但很慢。用手蓋住已知的部分，只數缺的那一段，再試試先說答案，再用數的來驗證。
• 漏掉 0。 「5 沒辦法用 5 來湊。」其實有：5 和 0。偶爾把圓片全部藏到杯子底下，問看得見的有幾個。
• 把總數和部分搞混。 孩子把 10 和 7 加起來，其實 10 才是總數。指著上面的圓圈問：「這是大的數，還是它的一小塊？」畫的時候，把總數的圓圈畫大一點。
• 以為 7 和 3 與 3 和 7 是不同的事實。 把一列積木轉個方向。它還是同一列，所以還是同一個分解與合成。
• 用猜的。 如果孩子開始亂猜，可能是題目跳得太快。退回一步，用物品或十格框練個幾天。保持輕鬆，結束在孩子答對的那一題。

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簡短重點

數的分解與合成就是兩個部分加一個總數。先從真實物品和 5 的湊數開始，再用手指和十格框進到 10，然後用並排的兩個十格框進到 20。每個分解與合成都從四個方向問，一旦出現亂猜，就退回一步。如果想要有一點競爭感的棋盤式練習，可以看看兒童數學棋盤遊戲。