बच्चों को जोड़ना कैसे सिखाएँ: चरण-दर-चरण गाइड
Math Learner टीम की ओर से अपडेट किया गया 10 मिनट में पढ़ें
जोड़ना चार चरणों में सिखाएँ, मोटे तौर पर 4 से 8 साल की उम्र के बीच। पहले बच्चा दोनों समूहों की हर चीज़ गिनता है। फिर वह बड़ी संख्या से शुरू करके आगे गिनता है। उसके बाद 10 बनाने वाली जोड़ियों से दहाई पार करता है। आख़िर में तथ्य याद कर लेता है। पहले चीज़ों से सिखाएँ, और जब कोई चरण आसान लगे तब आगे बढ़ें।
मेज़ पर तीन खिलौना गाड़ियाँ रखिए, फिर दो गाड़ियाँ थोड़ी दूरी पर। बच्चे से पूछिए, “अब कुल कितनी गाड़ियाँ हैं?” और उसे दोनों समूह साथ सरकाकर गिनने दीजिए। यह छोटा-सा पल ही जोड़ना है, और आज शुरू करने की सही जगह यही है।
नीचे के चरण 4 से 8 साल के बच्चों के लिए हैं, यानी मोटे तौर पर प्रीस्कूल से कक्षा 2 तक। उम्र सिर्फ़ मोटा अंदाज़ा है। कुछ बच्चे हर चरण में एक हफ़्ता लेते हैं और कुछ कई महीने, और दोनों ठीक हैं।
जोड़ना किस क्रम में सिखाएँ?
जोड़ने के ये चार तरीके एक के ऊपर एक बनते हैं, और अमेरिकी स्कूल मानक (Common Core) भी यही क्रम अपनाते हैं: किंडरगार्टन में चीज़ों से जोड़ना, कक्षा 1 में आगे गिनना और दस बनाना, और कक्षा 2 के अंत तक जोड़ याद से। हर तरीका पिछले से तेज़ है, इसलिए बच्चे को पुराना तरीका तब तक रखने दीजिए जब तक नया भरोसेमंद न लगे।
| चरण | 5 + 3 के लिए यह कैसा दिखता है | मोटे तौर पर उम्र | अगले चरण के लिए तैयार कब है |
|---|---|---|---|
| 1. सब गिनना | 5 चीज़ें गिनता है, फिर 3, फिर सब 8 को 1 से | 4 से 5 | दोनों समूह बिना गिनती खोए गिन लेता है |
| 2. आगे गिनना | “पाँच” बोलता है और छह, सात, आठ गिनता है | 5 से 7 | बड़ी संख्या से खुद शुरू करने लगता है |
| 3. 10 बनाना | पहले एक संख्या को तोड़कर दस पूरा करता है, जैसे 9 + 5 = 10 + 4 | 6 से 7 | गिने बिना जानता है कि कौन-सी जोड़ियाँ 10 बनाती हैं |
| 4. जोड़ के तथ्य | बस जानता है कि 5 + 3 = 8 | 6 से 8 | 9 + 9 तक के ज़्यादातर तथ्य जल्दी आते हैं |
आपको चरणों के नाम बताने की ज़रूरत नहीं है। देखिए कि बच्चा क्या करता है, और जब मौजूदा तरीका आसान लगे तब अगला तरीका दिखाइए।
जोड़ने से पहले बच्चे को क्या आना चाहिए?
जोड़ना गिनती पर टिका है। जोड़ने से पहले बच्चा एक छोटा समूह गिन पाए, हर चीज़ को एक बार छूते हुए, और जाने कि आख़िर में बोली गई संख्या बताती है कि कुल कितने हैं। अगर यह अभी पक्का नहीं है, तो बच्चों को गिनती सिखाने के चरण से शुरू करें और कुछ हफ़्तों बाद लौटें।
दो बातें और मदद करती हैं। एक है छोटी मात्राओं को एक नज़र में देखना, जैसे तीन बिंदु देखकर बिना गिने जान लेना कि तीन हैं। पासे और डोमिनो इसे बनाते हैं।
दूसरी है मिलाने की भाषा: खेल के दौरान “और”, “ज़्यादा”, “कुल” और “सब मिलाकर” जैसे शब्द। “तुम्हारे पास 2 ब्लॉक हैं। ये 3 और हैं। कुल कितने हुए?”
आगे चलकर जोड़ का चिह्न इन्हीं शब्दों की जगह लेगा।
चरण 1: सब गिनना (4 से 5 साल)
इस चरण में बच्चा दोनों समूह बनाता है, उन्हें साथ रखता है और सब कुछ 1 से गिनता है। 3 + 2 के लिए वह तीन ब्लॉक, दो ब्लॉक गिनता है, फिर सब पाँच: “1, 2, 3, 4, 5।”
यह धीमा है, पर इससे जोड़ का असली मतलब दिखता है: दो समूह मिलकर एक बड़ा समूह बनाते हैं। किंडरगार्टन मानक यहीं से शुरू होते हैं, जिनमें जोड़ को “चीज़ों, उँगलियों, मन की तस्वीरों, चित्रों” और दूसरे ठोस तरीकों से दिखाया जाता है (K.OA.A.1)।
इस्तेमाल के लिए चीज़ें:
- छोटे खिलौने या खाने की चीज़ें। अंगूर, बटन, खिलौना जानवर। कुछ भी जिसे बच्चा हिला सके।
- दो थालियाँ। हर थाली में एक समूह, फिर दोनों को सरकाकर तीसरी थाली में डालें।
- उँगलियाँ। एक हाथ में तीन, दूसरे में दो, फिर खड़ी सभी उँगलियाँ गिनें।
शुरू में जोड़ 5 तक रखें, फिर 10 तक। किंडरगार्टन में अमेरिकी मानकों के अनुसार बच्चे चीज़ों या चित्रों से 10 के अंदर जोड़ते हैं, और साल के अंत तक 5 के अंदर आसानी से जोड़ते हैं (K.OA.A.2 और K.OA.A.5)। इस उम्र के और विचारों के लिए ये किंडरगार्टन गणित खेल देखें।
चरण 2: आगे गिनना (5 से 7 साल)
आगे गिनने का मतलब है एक संख्या से शुरू करके आगे गिनना। 5 + 3 के लिए बच्चा “पाँच” बोलता है और फिर तीन और गिनता है: “छह, सात, आठ।” कुछ बच्चे इसे किंडरगार्टन के आख़िर में शुरू करते हैं। अमेरिकी मानक इसे कक्षा 1 में रखते हैं, जहाँ बच्चे गिनती को जोड़ से जोड़ते हैं, जैसे 2 जोड़ने के लिए 2 आगे गिनना (1.OA.C.5)।
यहाँ तक पहुँचने के लिए पहला समूह छिपा दीजिए। पाँच बटन कटोरी के नीचे रखिए और कहिए, “यहाँ नीचे पाँच हैं।” फिर तीन बटन ऐसे रखिए जो दिखते हों। छिपे हुए बटन गिने नहीं जा सकते, इसलिए बच्चा पाँच से शुरू करने की ओर बढ़ता है।
अगला कदम है बड़ी संख्या से शुरू करना। 2 + 7 के लिए 2 से आगे गिनने में सात गिनतियाँ लगती हैं। 7 से आगे गिनने में सिर्फ़ दो: “आठ, नौ।” बताइए कि दोनों तरीके 9 देते हैं, और बच्चे को छोटा रास्ता चुनने दीजिए।
संख्या रेखा आगे गिनने को दिखाई देने वाला बना देती है। पहली संख्या पर खड़े हों और जितनी संख्या जोड़नी है उतनी छलांग लगाएँ, हर संख्या के लिए एक। बच्चा देख सकता है कि 5 + 3 यानी तीन छलांग जो 8 पर उतरती हैं।
नीचे आज़माइए: बिंदु को खींचिए, चुनिए कि कितनी छलांग लगानी है, और छलांग! दबाइए। अभी जोड़ें बटन चालू रखिए।
संख्या रेखा
शुरुआत चुनने के लिए बिंदु को खींचें, कितनी छलांगें हों यह चुनें, फिर छलांग पर टैप करें।
बिंदु को खींचें, छलांगें चुनें, फिर छलांग पर टैप करें!
चरण 3: 10 बनाना कैसे मदद करता है? (6 से 7 साल)
5 + 3 के लिए आगे गिनना अच्छा चलता है, पर 9 + 5 में पाँच और गिनने पड़ते हैं और हिसाब भी रखना पड़ता है। 10 बनाना तेज़ है। बच्चा जानता है कि 9 को 10 बनाने के लिए 1 और चाहिए, तो वह 5 को 1 और 4 में तोड़ता है: 9 + 1 = 10, फिर 10 + 4 = 14।
यह उन जोड़ियों को जानने पर टिका है जो 10 बनाती हैं, जैसे 7 और 3 या 6 और 4, और ये आगे 5 बनाने वाली छोटी जोड़ियों से उगती हैं। अगर ये अभी जल्दी नहीं आतीं, तो पहले इन पर समय लगाएँ। हमारी गाइड नंबर बॉन्ड सिखाने का तरीका बताती है कि जोड़ियाँ चीज़ों और टेन फ़्रेम से कैसे सिखाएँ।
टेन फ़्रेम इसे अच्छी तरह दिखाते हैं। पहला फ़्रेम 8 गोटियों से भरिए और दूसरे में 5 रखिए। 2 गोटियाँ उठाकर पहले फ़्रेम में डालिए ताकि वह भर जाए। अब एक पूरा दस है और 3 और, तो 8 + 5 = 13।
कक्षा 1 के मानक 20 के अंदर जोड़ने की एक रणनीति के रूप में दस बनाने को गिनाते हैं (1.OA.C.6)। 9 या 8 से शुरू करें, क्योंकि दस पूरा करने के लिए इन्हें सिर्फ़ 1 या 2 चाहिए।
चरण 4: बच्चे जोड़ के तथ्य कैसे सीखते हैं? (6 से 8 साल)
तथ्य वे जोड़ हैं जो बच्चा हल किए बिना जानता है, जैसे 4 + 4 = 8। मकसद पिछले चरण छोड़ देना नहीं है। जो बच्चा चरणों को समझता है, वह भूला हुआ तथ्य हमेशा फिर से बना सकता है।
0 + 0 से 9 + 9 तक 100 तथ्य हैं, पर बच्चे को 100 अलग चीज़ें नहीं सीखनी हैं:
- पलटकर जोड़ना। 3 + 8 और 8 + 3 का जवाब एक ही है। हर जोड़ी को एक बार गिनने पर 55 तथ्य बचते हैं।
- 0 जोड़ना और 1 जोड़ना। जवाब वही संख्या या अगली संख्या होता है, इसलिए ये जल्दी आ जाते हैं। ये 100 में से 36 तथ्य हैं।
- दुगुने (डबल्स)। 10 + 10 तक सिर्फ़ दस हैं, और दोनों हाथों की मिलती उँगलियाँ हर एक को दिखा देती हैं।
| दुगुना | 1 + 1 | 2 + 2 | 3 + 3 | 4 + 4 | 5 + 5 | 6 + 6 | 7 + 7 | 8 + 8 | 9 + 9 | 10 + 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| जोड़ | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
दुगुने से लगभग दुगुने (नियर डबल्स) खुलते हैं। अगर बच्चा जानता है कि 6 + 6 = 12, तो 6 + 7 उससे एक ज़्यादा है: 13। जो तथ्य आता है उससे उस तथ्य तक पहुँचना जो नहीं आता, इसे व्युत्पन्न तथ्य (derived fact) कहते हैं।
6 से 7 साल के 44 बच्चों के एक अध्ययन में Dowker (2014) ने पाया कि व्युत्पन्न तथ्य की रणनीतियाँ, जैसे “एक ज़्यादा” का इस्तेमाल या जोड़ का क्रम बदलना, कठिनाई में काफ़ी अलग थीं। इसीलिए हम सुझाते हैं कि इन्हें एक-एक करके लाएँ और हर एक को चीज़ों से दिखाएँ।
अमेरिकी मानक कक्षा 1 में 10 के अंदर आसानी से जोड़ने की और कक्षा 2 के अंत तक दो एक-अंकीय संख्याओं के सभी जोड़ याद से जानने की अपेक्षा करते हैं (1.OA.C.6 और 2.OA.B.2)।
हम लंबे सत्रों की जगह छोटा और बार-बार अभ्यास सुझाते हैं। ज़्यादातर दिन कुछ मिनट काफ़ी हैं: खाने की मेज़ पर कुछ जोड़, या ताश का एक छोटा खेल। मज़ा बना रहे तभी रुक जाएँ। हमारी बच्चों के गणित खेल की सूची में कई खेल हैं जिनमें जोड़ आता है।
चीज़ों से लिखे जोड़ पर कैसे जाएँ?
लिखे हुए जोड़ तब आएँ जब बच्चा चीज़ों से जोड़ना सीख ले, उससे पहले नहीं। बदलाव धीरे-धीरे करें:
- चीज़ें और शब्द। “तीन गाड़ियाँ और दो गाड़ियाँ और, कुल पाँच गाड़ियाँ।”
- चित्र। बच्चा तीन गोले और दो गोले बनाता है, फिर गिनता है।
- चित्र के नीचे संख्याएँ। गोलों के नीचे 3 और 2 लिखें, और सबके नीचे 5।
- पूरा जोड़। अब 3 + 2 = 5 लिखें और इसे “तीन और दो पाँच” पढ़ें।
बराबर के चिह्न पर ध्यान चाहिए। देखिए कि कहीं बच्चा इसे “अब जवाब आएगा” की तरह तो नहीं पढ़ता, और समझाइए कि इसका मतलब है “उतनी ही मात्रा है।”
इसे तराज़ू या ब्लॉकों की दो बराबर मीनारों से दिखाइए: एक तरफ़ 3 + 2 और दूसरी तरफ़ 5। कक्षा 1 के मानक बच्चों से तय करवाते हैं कि 5 + 2 = 2 + 5 जैसे जोड़ सही हैं या गलत (1.OA.D.7)।
छोटी कहानियाँ चिह्नों को मतलब देती हैं। “Pip के पास 4 बेरी हैं और 3 और मिलती हैं। अब Pip के पास कितनी हैं?” पहले बच्चे को असली चीज़ों से इसे करके दिखाने दीजिए।
कहानी बदलते रहिए। “मिलाना” दो समूह जोड़ता है: 2 लाल सेब और 5 हरे सेब मिलकर 7 सेब। छूटा हुआ भाग ज़्यादा कठिन है: Pip के पास 4 बेरी थीं और अब 7 हैं, तो Pip को कितनी मिलीं? अमेरिकी कक्षा 1 के मानकों में ये सभी कहानी-प्रकार शामिल हैं (1.OA.A.1)। छूटा हुआ भाग तब रखें जब पहले दो आसान लगें।
इस चरण के लिए खेल चाहिए तो बच्चों के गणित बोर्ड गेम बताता है कि पासे और संख्या पट्टी आगे गिनने को कैसे दौड़ बना देते हैं।
जोड़ की आम गलतियाँ क्या हैं और उन्हें कैसे सुधारें?
- शुरुआती संख्या को दो बार गिनना। 5 + 3 के लिए बच्चा “पाँच, छह, सात” बोलकर 7 बताता है। उसने 5 को भी छलांग गिन लिया। संख्या रेखा पर दिखाइए कि आप 5 पर खड़े हैं और सिर्फ़ उतरने पर गिनते हैं।
- हमेशा 1 से गिनना। यह चल जाता है, इसलिए टिक जाता है। आगे गिनने की ओर बढ़ाने के लिए पहला समूह कटोरी के नीचे छिपा दीजिए।
- छोटी संख्या से शुरू करना। 2 + 9 के लिए वह नौ और गिनता है। दोनों समूहों को सामने रखिए और पूछिए कि कौन-सा बड़ा दिखता है। वहीं से शुरू करें।
- आगे गिनते हुए गिनती खो देना। बच्चे को पता नहीं होता कि कब रुकना है। हर गिनती पर एक उँगली उठवाइए, और जब उँगलियाँ जोड़ी गई संख्या के बराबर हो जाएँ तब रुकवाइए।
- अंदाज़ा लगाना। इसका मतलब अक्सर यह है कि कदम बहुत बड़ा है। कुछ दिन एक चरण पीछे जाइए, छोटी संख्याएँ लीजिए, और ऐसे जोड़ पर खत्म कीजिए जो बच्चा सही कर ले।
संक्षेप में
जोड़ना चार कदमों में सिखाएँ: सब गिनना, आगे गिनना, 10 बनाना, फिर तथ्य। हर नए कदम पर असली चीज़ें इस्तेमाल करें, और सत्र छोटे रखें। जब मौजूदा तरीका आसान लगे तब आगे बढ़ें, और जब भी अंदाज़ा लगाना शुरू हो, एक कदम पीछे जाएँ। 20 के अंदर जोड़ना पक्का हो जाए, तो यही विचार पहाड़े कैसे सिखाएँ में काम आते हैं, जो बराबर समूहों को जोड़ने पर बनता है।
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अभिभावक अक्सर क्या पूछते हैं
5 साल के बच्चे को जोड़ना कैसे सिखाएँ?
ऐसी असली चीज़ों से शुरू करें जिन्हें हिलाया जा सके, जैसे खिलौना गाड़ियाँ या अंगूर। दो छोटे समूह बनाएँ, उन्हें साथ रखें और सब गिनें। शुरू में जोड़ 10 से कम रखें। कहानी बोलकर सुनाएँ: 3 गाड़ियाँ और 2 गाड़ियाँ और, तो कुल 5 गाड़ियाँ। लिखे हुए जोड़ तब तक रुक सकते हैं जब तक यह आसान न लगने लगे।
क्या बच्चों का उँगलियों पर गिनना ठीक है?
जी हाँ। उँगलियाँ 10 की एक काम की गिनती हैं जो बच्चे के पास हमेशा रहती है। छोड़ने लायक आदत हर बार 1 से गिनना है। बच्चे को दिखाएँ कि बड़ी संख्या एक साथ उठाकर वहीं से आगे कैसे गिनें। धीरे-धीरे उसे उँगलियों की जगह उँगलियों की तस्वीर मन में बनाने के लिए प्रेरित करें।
जोड़ने में आगे गिनना क्या होता है?
आगे गिनने का मतलब है एक संख्या से शुरू करके दूसरी संख्या जोड़ने के लिए आगे बढ़ते जाना। 5 + 3 के लिए बच्चा बोलता है पाँच, फिर छह, सात, आठ, तो जवाब 8 है। यह दोनों समूहों को 1 से गिनने से तेज़ है। बड़ी संख्या से शुरू करने पर गिनती छोटी रहती है।
बच्चों को जोड़ के तथ्य कब तक याद होने चाहिए?
Common Core में किंडरगार्टन के बच्चे 5 के अंदर आसानी से जोड़ते हैं, कक्षा 1 के बच्चे 10 के अंदर आसानी से जोड़ते हैं, और कक्षा 2 के अंत तक बच्चे दो एक-अंकीय संख्याओं के सभी जोड़ याद से जानते हैं। यह मोटे तौर पर 5 से 8 साल की उम्र है। इसे मोटा अंदाज़ा मानें, समय-सीमा नहीं।
बच्चा जवाब अंदाज़े से बोले तो क्या करें?
अंदाज़े का मतलब अक्सर यह होता है कि कदम बहुत बड़ा है। कुछ दिन पिछले चरण पर लौटें: लिखे जोड़ की जगह चीज़ें, या छोटी संख्याएँ। बच्चे से गोटियों या उँगलियों से जवाब दिखाने को कहें। हर बार ऐसे जोड़ पर खत्म करें जो उसने सही किया हो, ताकि वह फिर आना चाहे।
स्रोत
- Common Core State Standards: Kindergarten, Operations and Algebraic Thinking
- Common Core State Standards: Grade 1, Operations and Algebraic Thinking
- Common Core State Standards: Grade 2, Operations and Algebraic Thinking
- Dowker (2014). Young children's use of derived fact strategies for addition and subtraction. Frontiers in Human Neuroscience. doi:10.3389/fnhum.2013.00924
