बच्चों को घटाव कैसे सिखाएँ: चरण-दर-चरण गाइड

एक थाली में पाँच अंगूर रखिए और बच्चे से कहिए कि दो खा ले। फिर पूछिए, “कितने बचे?” उसे थाली में बचे हुए अंगूर गिनने दीजिए। यही घटाव है, और आज शुरू करने के लिए नाश्ता एक अच्छी जगह है।

नीचे के चरण 4 से 8 साल के बच्चों के लिए हैं, यानी मोटे तौर पर प्रीस्कूल से कक्षा 2 तक। उम्र सिर्फ़ मोटा अंदाज़ा है। कुछ बच्चे हर चरण एक हफ़्ते में पार कर लेते हैं और कुछ को कुछ महीने लगते हैं, और दोनों ठीक हैं।

घटाव किस क्रम में सिखाएँ?

घटाव के दो रोज़मर्रा के मतलब हैं और हल करने के कुछ तरीके। पहले मतलब चीज़ों से सिखाएँ, फिर तेज़ तरीके। अमेरिकी स्कूल मानक (Common Core) भी लगभग यही रास्ता अपनाते हैं: किंडरगार्टन में चीज़ों से घटाना, कक्षा 1 में गिनने और दस बनाने जैसी रणनीतियाँ 20 के अंदर, और कक्षा 2 में मन की रणनीतियों से 20 के अंदर आसानी से घटाना।

आपको बच्चे को चरणों के नाम बताने की ज़रूरत नहीं है। देखिए कि वह क्या करता है, और जब मौजूदा तरीका आसान लगे तब अगला तरीका दिखाइए।

घटाव से पहले बच्चे को क्या आना चाहिए?

बच्चा एक छोटा समूह गिन पाए, हर चीज़ को एक बार छूते हुए, और जाने कि आख़िरी संख्या बताती है कि कुल कितने हैं। अगर गिनती अभी डगमगाती है, तो बच्चों को गिनती सिखाने के चरण से शुरू करें।

यह भी मदद करता है कि चीज़ों से जोड़ना पहले से आसान लगे। घटाव जोड़ को उलट देता है, और दोनों साथ-साथ बढ़ते हैं। हमारी गाइड बच्चों को जोड़ना कैसे सिखाएँ उन जोड़ने के चरणों को बताती है जो इनके साथ चलते हैं।

शब्द भी मायने रखते हैं। घटाव का चिह्न आने से बहुत पहले, खेल के दौरान “बचे”, “कम”, “कितने ज़्यादा” और “फ़र्क़” जैसे शब्द इस्तेमाल कीजिए।

“तुम्हारे पास 4 ब्लॉक थे। 1 तुमने मुझे दे दिया। कितने बचे?”

चरण 1: निकालना क्या है? (4 से 6 साल)

निकालने का मतलब है एक समूह से शुरू करके उसमें से कुछ हटाना। सात चिड़ियाँ तार पर बैठी हैं, तीन उड़ जाती हैं, और चार रह जाती हैं। ज़्यादातर बच्चे यही मतलब सबसे पहले समझते हैं, क्योंकि इसे हाथों से किया जा सकता है।

किंडरगार्टन मानक कहते हैं कि बच्चे घटाव को “चीज़ों, उँगलियों, मन की तस्वीरों, चित्रों” और दूसरे ठोस तरीकों से दिखाएँ, और 10 के अंदर कहानी वाले सवाल हल करें (K.OA.A.1 और K.OA.A.2)। इसलिए इसे हाथों से करने वाला रखिए:

• नाश्ता। छह बिस्किट लें, दो खा लें, बचे हुए गिनें।
• उँगलियाँ। 8 उँगलियाँ उठाइए, 3 मोड़ दीजिए, खड़ी उँगलियाँ गिनिए।
• डिब्बे में खिलौने। डिब्बे में 5 गाड़ियाँ रखिए, 1 खेलने के लिए निकाल लीजिए, बाकी गिनिए।

शुरू में शुरुआती संख्या 5 या उससे कम रखें, फिर 10 तक जाएँ। अमेरिकी मानक अपेक्षा करते हैं कि किंडरगार्टन के अंत तक बच्चे 5 के अंदर आसानी से घटाएँ (K.OA.A.5)।

बच्चे से कहानी आपको वापस सुनवाइए। “पाँच थे, मैंने दो लिए, अब तीन हैं।” ज़ोर से बोलने से क्रिया और संख्या आपस में जुड़ जाती हैं।

चरण 2: घटाव में तुलना का क्या मतलब है? (5 से 7 साल)

तुलना में दो समूह होते हैं और पूछा जाता है कि एक में दूसरे से कितने ज़्यादा हैं। बच्चे के पास 7 लाल गाड़ियाँ और 4 नीली गाड़ियाँ हैं। कुछ भी निकाला नहीं गया, फिर भी यह घटाव है: 7 - 4 = 3, यानी 3 लाल गाड़ियाँ ज़्यादा हैं।

कई बच्चों को यह निकालने से कठिन लगता है। “कितने ज़्यादा?” सवाल में “ज़्यादा” शब्द है, जो जोड़ जैसा सुनाई देता है। कक्षा 1 के मानक तुलना को उन कहानी-प्रकारों में गिनते हैं जिन्हें बच्चे 20 के अंदर हल करते हैं (1.OA.A.1), इसलिए इसे जानबूझकर सिखाना ठीक है।

तरकीब है दोनों समूहों का मिलान करना। लाल गाड़ियों को एक कतार में रखिए और नीली गाड़ियों को उनके ठीक नीचे दूसरी कतार में, एक के नीचे एक।

नीली साथी वाली हर लाल गाड़ी एक जोड़ी है। जिन लाल गाड़ियों का कोई साथी नहीं, वही फ़र्क़ हैं। उन्हें गिनिए: 3।

नीचे दोनों मतलब आज़माइए। “निकालना” में गोटियों को दबाकर हटाइए और देखिए कि संख्या-वाक्य कैसे बदलता है। “तुलना” में “जोड़ियाँ दिखाएँ” दबाइए और बिना साथी वाली गोटियाँ गिनिए।

चरण 3 और 4: बच्चा पीछे गिने या आगे? (5 से 7 साल)

जब चीज़ों से करना आसान लगे, तो बच्चा गिनकर भी घटा सकता है। इसके दो तरीके हैं, और हर एक अलग सवालों पर बैठता है।

पीछे गिनना तब चलता है जब निकाली जाने वाली संख्या छोटी हो। 9 - 2 के लिए बच्चा “नौ” बोलता है और दो कदम पीछे गिनता है: “आठ, सात।” जवाब 7 है। कक्षा 1 के मानक गिनती को घटाव से इसी तरह जोड़ते हैं (1.OA.C.5)। संख्या रेखा मदद करती है: 9 पर खड़े हों और दो बार पीछे कूदें।

आगे गिनना तब चलता है जब दोनों संख्याएँ पास-पास हों। 12 - 9 के लिए नौ कदम पीछे गिनना लंबा है और गिनती खो जाती है। इसके बजाय 9 से शुरू करके 12 तक आगे गिनिए: “दस, ग्यारह, बारह।” यह 3 गिनतियाँ हैं, इसलिए 12 - 9 = 3। यह फिर वही तुलना वाला विचार है: 9 से 12 कितना दूर है?

कक्षा 1 के मानक इसे घटाव को छूटे हुए जोड़ के रूप में देखना कहते हैं, जैसे 10 - 8 निकालने के लिए पूछना कि 8 में कौन-सी संख्या जोड़ने पर 10 बनता है (1.OA.B.4)।

बच्चे के लिए एक सरल नियम: जो संख्या निकालनी है उसे देखो। अगर वह छोटी है, तो पीछे गिनो। अगर वह पहली संख्या के पास है, तो आगे गिनो। 15 - 2 और 15 - 13 को साथ-साथ लिखिए और पूछिए कि हर एक में कौन-सा रास्ता छोटा है।

घटाव जोड़ से कैसे जुड़ा है?

हर घटाव के तथ्य के भीतर एक जोड़ का तथ्य छिपा है। अगर बच्चा जानता है कि 3 + 5 = 8, तो वह यह भी जानता है कि 8 - 5 = 3 और 8 - 3 = 5। इन चारों तथ्यों को फ़ैक्ट फ़ैमिली कहते हैं: 3 + 5 = 8, 5 + 3 = 8, 8 - 3 = 5 और 8 - 5 = 3।

ज़्यादातर बच्चों को घटाव के तथ्य इसी तरह याद होते हैं। वे हर एक को अलग से नहीं सीखते। वे सोचते हैं, “3 के साथ क्या जोड़ने पर 8 बनता है?” हमारी गाइड नंबर बॉन्ड सिखाने का तरीका बताती है कि भाग और पूरी संख्या की इन जोड़ियों को चीज़ों से कैसे सिखाएँ।

10 बनाने वाली जोड़ियों को अतिरिक्त समय देना ठीक है। अगर 10 = 7 + 3, तो 10 - 7 = 3। टेन फ़्रेम को 10 गोटियों से भरिए, 7 हटाइए, और बची 3 गोटियाँ यह जुड़ाव साफ़ दिखा देती हैं। यही जोड़ियाँ उन सवालों में भी काम आती हैं जो दस पार करते हैं। कक्षा 1 के मानक यह उदाहरण देते हैं: 13 - 4 = 13 - 3 - 1 = 10 - 1 = 9, यानी पहले 3 निकालकर 10 पर आइए, फिर 1 और (1.OA.C.6)।

इन दोनों को जोड़ना अपने-आप नहीं होता। 6 से 7 साल के 44 बच्चों के एक अध्ययन में Dowker (2014) ने पाया कि जोड़ और घटाव के बीच के जुड़ाव का इस्तेमाल करना बच्चों के लिए सबसे कठिन रणनीतियों में से एक था। कुछ घटाव के सवालों में भी अक्सर गलत जवाब आए जिनमें जोड़ का नियम घटाव में ले जाया गया था (नीचे गलतियों वाला भाग देखें)। हम सुझाते हैं कि हर जुड़ाव को सिर्फ़ बोलने की जगह चीज़ों से दिखाएँ।

कक्षा 2 के अंत तक अमेरिकी मानक अपेक्षा करते हैं कि बच्चे मन की रणनीतियों से 20 के अंदर आसानी से घटाएँ (2.OA.B.2)।

चीज़ों से घटाव के चिह्न तक कैसे जाएँ?

लिखा हुआ संख्या-वाक्य तब लाइए जब बच्चा चीज़ों से घटाना सीख ले। एक-एक छोटा कदम चलिए:

1. चीज़ें और शब्द। “छह बिस्किट थे, मैंने दो खाए, चार बचे।”
2. चित्र। छह गोले बनाइए और दो पर क्रॉस लगाइए।
3. चित्र के पास संख्याएँ। गोलों के ऊपर 6 लिखिए, क्रॉस वाले गोलों के पास 2 और बाकी के पास 4।
4. संख्या-वाक्य। 6 - 2 = 4 लिखिए और इसे “छह में से दो निकालो तो चार” पढ़िए।

चिह्न को अलग-अलग तरह से पढ़िए ताकि वह सिर्फ़ “निकालो” न रह जाए: “छह घटा दो”, “छह और दो का फ़र्क़।” यहाँ क्रम भी मायने रखता है। 6 - 2 और 2 - 6 एक जैसे नहीं हैं, जिसे असली बिस्किटों से दिखाना अच्छा रहता है।

छोटी कहानियाँ संख्याओं को मतलब देती हैं। “Pip के पास 9 बेरी थीं और उसने 4 खा लीं। कितनी बचीं?” यह निकालना है। “Pip के पास 9 बेरी हैं और उसके दोस्त के पास 4। Pip के पास कितनी ज़्यादा हैं?” यह तुलना है।

दोनों 9 - 4 = 5 हैं। कक्षा 1 के मानक बच्चों से 5 = ? - 3 जैसे सवालों में छूटी हुई संख्या ढूँढने को भी कहते हैं (1.OA.D.8), इसलिए कुछ ऐसी कहानियाँ भी आज़माइए जिनमें शुरुआती संख्या अज्ञात हो: “Pip ने 3 बेरी खाईं और 5 बचीं। शुरू में कितनी थीं?” 3 को वापस 5 के साथ रखने पर 8 मिलता है।

जिन पासे और रास्ते वाले खेलों में घटाव का अभ्यास होता है, उनके लिए हमारी बच्चों के गणित खेल की सूची देखें, या 5 से 6 साल के लिए किंडरगार्टन गणित खेल।

घटाव की आम गलतियाँ क्या हैं और उन्हें कैसे सुधारें?

• शुरुआती संख्या को गिन लेना। 9 - 3 के लिए बच्चा “नौ, आठ, सात” बोलकर 7 बताता है। उसने 9 को भी पीछे के कदमों में गिन लिया। संख्या रेखा पर दिखाइए कि आप 9 पर खड़े हैं और सिर्फ़ उतरने पर गिनते हैं: आठ, सात, छह।
• तुलना की कहानी में जोड़ देना। “कितने ज़्यादा?” जोड़ जैसा सुनाई देता है। लिखने से पहले दो कतारों में चीज़ें रखकर कहानी को करके दिखाइए।
• संख्याओं की अदला-बदली। 2 - 6 पूछने पर कुछ बच्चे 4 बता देते हैं, क्योंकि वे हमेशा छोटी संख्या को बड़ी में से घटाते हैं। 2 बिस्किट की थाली से दिखाइए कि 6 निकाले नहीं जा सकते, और 6 - 2 एक अलग सवाल है।
• जोड़ का नियम घटाव में ले जाना। जो बच्चा 9 - 3 = 6 जानता है, वह 9 - 4 = 7 कह सकता है, क्योंकि जोड़ में एक और डालने पर जवाब में भी एक ज़्यादा आता है। Dowker (2014) ने इस तरह की गलती अक्सर देखी। चीज़ों से दिखाइए कि एक और निकालने पर एक कम बचता है: 9 - 4 = 5।
• शून्य और एक जैसी संख्या वाले सवाल। 5 - 0 और 5 - 5 बच्चों को उलझा सकते हैं। कुछ न निकालो: फिर भी 5। सब निकाल दो: 0 बचे। दोनों असली थाली से आज़माइए।
• अंदाज़ा लगाना। कदम आमतौर पर बहुत बड़ा होता है। कुछ दिन चीज़ों या छोटी संख्याओं पर लौटिए, और ऐसे सवाल पर खत्म कीजिए जो बच्चा सही कर ले।

संक्षेप में

घटाव के दोनों मतलब, निकालना और तुलना, असली चीज़ों से सिखाएँ। फिर निकाली जाने वाली संख्या छोटी हो तो पीछे गिनना जोड़िए, और संख्याएँ पास-पास हों तो आगे गिनना। आख़िर में हर तथ्य को उस जोड़ के तथ्य से जोड़िए जो बच्चा पहले से जानता है। सत्र छोटे रखें और जब अंदाज़ा लगाना शुरू हो तो एक चरण पीछे जाएँ।

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