बच्चों को पहाड़े कैसे याद कराएं: अभिभावकों के लिए 4 चरणों की आसान योजना
Math Learner टीम की ओर से अपडेट किया गया 8 मिनट में पढ़ें
पहले बराबर समूहों और पंक्तियों से दिखाएँ कि गुणा का मतलब क्या है। फिर आसान पहाड़ों से शुरू करें (1, 10, 2, 5), रोज़ लगभग 5 मिनट याददाश्त से जवाब देने का अभ्यास करें, और अंत में गुणा को भाग से जोड़ें। अमेरिका में बच्चों से उम्मीद की जाती है कि तीसरी कक्षा के अंत तक वे 9 × 9 तक के सभी गुणनफल याद रखें।
पहाड़े कई बच्चों को दीवार जैसे लगते हैं। एक साथ 100 गुणनफल देखकर वे सहम जाते हैं। अच्छी बात यह है कि याद करने के लिए गुणनफल दिखने से बहुत कम हैं, और सही क्रम हर कदम को छोटा बना देता है।
इस योजना में चार चरण हैं। 7 से 9 साल के कई बच्चे रोज़ लगभग 5 मिनट के अभ्यास से इन्हें कुछ महीनों में पूरा कर लेते हैं।
बच्चे गुणा कब सीखते हैं?
ज़्यादातर बच्चे 7 से 8 साल के बीच शुरू करते हैं। कई देशों में बच्चे गुणा 7 से 9 साल के बीच सीखते हैं। अमेरिका में Common Core मानक दूसरी कक्षा में पंक्तियों और बार-बार जोड़ने की समझ बनाते हैं। गुणा खुद तीसरी कक्षा का विषय है, और उस साल के अंत का लक्ष्य साफ़ है: एक अंक वाली दो संख्याओं के सभी गुणनफल याद होना।
अलग-अलग देशों में उम्र और कक्षाओं के नाम अलग होते हैं, लेकिन कौशल का क्रम हर जगह एक जैसा है: पहले समझना, फिर याद करना।
चरण 1: दिखाएँ कि गुणा का मतलब क्या है
कुछ भी याद कराने से पहले आपके बच्चे को पता होना चाहिए कि “3 × 4” का मतलब क्या है। इसका मतलब है 4 के 3 समूह। जो बच्चा यह समझ लेता है, वह भूला हुआ गुणनफल हमेशा दोबारा बना सकता है।
घर की चीज़ों से बराबर समूह बनाएँ
नाश्ते की चीज़ें, खिलौना गाड़ियाँ, सिक्के या मोज़े इस्तेमाल करें।
- 3 प्लेटों में से हर एक में 4 बिस्कुट रखें।
- पूछें: “कितनी प्लेटें हैं? हर प्लेट में कितने हैं? कुल कितने हैं?”
- साथ में लिखें: 3 × 4 = 12.
कुछ दिन अलग-अलग संख्याओं के साथ यही करें। समूह बच्चे से बनवाएँ और वाक्य भी उसी से बुलवाएँ: “4 के 3 समूह यानी 12।”
पंक्तियाँ बनाएँ और अदला-बदली पहचानें
पंक्ति-स्तंभ वही समूह हैं जो सलीके से पंक्तियों में रखे हों। 4-4 बटन की 3 पंक्तियाँ बिछाएँ। अब काग़ज़ को करवट देकर घुमा दें: यह 3-3 की 4 पंक्तियाँ हैं, और बटन अब भी 12 हैं।
पूरी योजना में यह सबसे काम की तरकीब है। क्योंकि 3 × 4 = 4 × 3, इसलिए बच्चे का सीखा हर गुणनफल असल में दो गुणनफल है। 10 × 10 की तालिका के 100 गुणनफल घटकर सिर्फ़ 55 अलग-अलग रह जाते हैं।
चरण 2 के लिए तैयार, जब आपका बच्चा किसी भी छोटे गुणा को चीज़ों से दिखा सके और अपने शब्दों में समझा सके।
चरण 2: आसान क्रम में पहाड़े सीखें
1, 2, 3, 4 के क्रम में न चलें। उन पहाड़ों से शुरू करें जिनका पैटर्न आपका बच्चा देख सके। तब हर नया पहाड़ा उन गुणनफलों का दोबारा इस्तेमाल करता है जो वह पहले से जानता है।
| क्रम | पहाड़ा | तरकीब |
|---|---|---|
| 1 | × 1 | किसी भी संख्या को 1 से गुणा करने पर वही रहती है। |
| 2 | × 10 | अंत में 0 लगा दें: 10 × 7 = 70. |
| 3 | × 2 | यह दुगुना करना है: 2 × 8 = 8 + 8. |
| 4 | × 5 | 10 के पहाड़े का आधा: 5 × 8, 80 का आधा है। जवाब 0 या 5 पर ख़त्म होते हैं। |
| 5 | × 11 | 9 तक अंक दोहराएँ: 11 × 6 = 66. |
| 6 | × 4 | दुगुना करें, फिर दोबारा दुगुना करें: 4 × 7 = 14, फिर 28. |
| 7 | × 3 | 2 का पहाड़ा और एक समूह और: 3 × 6 = 12 + 6. |
| 8 | × 9 | 10 का पहाड़ा घटा एक समूह: 9 × 6 = 60 − 6. |
| 9 | × 6 | 5 का पहाड़ा और एक समूह और: 6 × 7 = 35 + 7. |
| 10 | × 8 | तीन बार दुगुना करें: 8 × 3 = 6, 12, 24. |
| 11 | × 7 | सिर्फ़ 7 × 7 = 49 नया है। बाकी पिछले पहाड़ों से पता हैं। |
| 12 | × 12 | 10 का पहाड़ा और 2 का पहाड़ा: 12 × 4 = 40 + 8. |
7 के पहाड़े को देखिए, जिससे बच्चे सबसे ज़्यादा डरते हैं। वहाँ पहुँचने तक आपका बच्चा 7 × 2, 7 × 3, 7 × 4, 7 × 5, 7 × 6, 7 × 8 और 7 × 9 दूसरे पहाड़ों से जान चुका होता है। बस 7 × 7 बचता है।
9 के पहाड़े के लिए उँगलियों की तरकीब
अपनी 10 उँगलियाँ सामने रखें। 9 × 4 के लिए चौथी उँगली मोड़ दें। उसके बाईं ओर 3 उँगलियाँ और दाईं ओर 6 हैं: जवाब 36. यह 9 × 10 तक हर गुणनफल के लिए चलता है, और बच्चों को यह बहुत पसंद आता है।
एक और जाँच: 9 × 10 तक किसी भी जवाब के अंकों का जोड़ 9 होता है (3 + 6 = 9)।
अगले पहाड़े के लिए तैयार, जब आपका बच्चा तरकीब समझा सके और उस पहाड़े का कोई भी गुणनफल उँगलियों पर एक-एक करके गिने बिना निकाल सके।
चरण 3: याददाश्त से जवाब देने का अभ्यास, रोज़ 5 मिनट
6 × 7 निकालना आना और उसका जवाब सीधे जानना, दोनों एक बात नहीं हैं। तेज़ होने के लिए बच्चे को गुणनफल अपनी याददाश्त से निकालने होते हैं। यहीं छोटे, नियमित अभ्यास का महत्व है।
याददाश्त से जवाब देना रटने से बेहतर क्यों है?
“सात एकम सात, सात दूना चौदह” दोहराना काम का लगता है, लेकिन बच्चे को कभी जवाब खुद ढूँढना नहीं पड़ता।
2023 के एक अध्ययन में दूसरी कक्षा के 48 बच्चे शामिल थे। एक समूह ने 3 और 4 के पहाड़े फ़्लैशकार्ड से सीखे और हर गुणनफल का जवाब याददाश्त से दिया। दूसरे समूह ने वही गुणनफल ज़ोर से दोहराए। फ़्लैशकार्ड वाला समूह तेज़ और ज़्यादा सटीक हुआ, और एक हफ़्ते बाद भी उसकी बढ़त बनी रही। यह दो पहाड़ों पर एक छोटा अध्ययन था, लेकिन यह वही बताता है जो शिक्षक देखते हैं: बच्चे गुणनफल सुनकर नहीं, याद करके सीखते हैं।
इसे करने के व्यावहारिक तरीके:
- फ़्लैशकार्ड: आगे सवाल, पीछे जवाब। दो ढेर बनाएँ: “आता था” और “अभी नहीं”। “अभी नहीं” वाला ढेर दोहराएँ।
- फटाफट सवाल कार में या खाने के समय: “6 × 4 कितना होता है?”
- ढकना: पहाड़ा लिखें, एक जवाब को सिक्के से ढकें और उसके बारे में पूछें।
- खेल: ताश और पासे के खेल अभ्यास को खेल बना देते हैं। बिना स्क्रीन के आइडिया के लिए हमारा लेख बच्चों के मुफ़्त गणित खेल देखें।
- प्रिंट करने वाली शीट: दीवार पर मुफ़्त पहाड़े का प्रिंट चार्ट लगाएँ, या अपने बच्चे के सीखे जा रहे पहाड़ों से जवाबों के साथ गुणा की वर्कशीट बनाएँ।
एक हफ़्ते की अभ्यास योजना
रोज़ पाँच मिनट काफ़ी हैं। जब तक मज़ा आ रहा हो, तभी रुक जाएँ।
| दिन | क्या करें (लगभग 5 मिनट) |
|---|---|
| सोमवार | नए पहाड़े को उसकी तरकीब के साथ शुरू करें। उसके दो गुणनफल चीज़ों से बनाएँ। |
| मंगलवार | सिर्फ़ नए पहाड़े के फ़्लैशकार्ड। “आता था” और “अभी नहीं” में छाँटें। |
| बुधवार | पहले “अभी नहीं” ढेर, फिर पूरा नया पहाड़ा बेतरतीब क्रम में। |
| गुरुवार | नए पहाड़े में पुराने पहाड़ों के 5 गुणनफल मिलाएँ। |
| शुक्रवार | नए पहाड़े वाला कोई खेल खेलें। |
| सप्ताहांत | मज़े के लिए कुछ फटाफट सवाल। |
जब ज़्यादातर कार्ड सीधे “आता था” के ढेर में जाएँ, तो आगे बढ़ें।
अतिरिक्त अभ्यास के लिए ऐप
अगर आपके बच्चे को स्क्रीन पसंद है, तो ऐप अभ्यास का कुछ हिस्सा संभाल सकता है। हमारे ऐप Math Learner में गुणा की दुनिया है, जो 50 लेवल में छोटे-छोटे कदमों से पहाड़े सिखाती है। गलत जवाब देने पर सही जवाब दिखता है, ताकि बच्चे अटकने के बजाय गलतियों से सीखें, और रिपोर्ट कार्ड अभिभावकों को दिखाता है कि हर विषय में कैसा चल रहा है। हर दुनिया के पहले 15 लेवल मुफ़्त हैं।
किसी भी ऐप को ऊपर के चरणों की जगह नहीं, उनके साथ अतिरिक्त अभ्यास के रूप में इस्तेमाल करें। हमारी गाइड बच्चों के लिए गणित के सबसे अच्छे ऐप मुख्य विकल्पों की तुलना करती है।
चरण 4: भाग और असली सवालों से जोड़ें
जब कोई पहाड़ा पक्का हो जाए, तो बच्चे को दिखाएँ कि हर गुणा के पीछे एक भाग छिपा है। अगर 3 × 4 = 12, तो 12 ÷ 4 = 3 और 12 ÷ 3 = 4.
बिस्कुटों पर लौटें: 12 बिस्कुट 3 प्लेटों में बाँटने पर हर प्लेट में 4 आते हैं। तस्वीर वही है, बस उलटी।
फिर गुणनफलों का रोज़मर्रा में इस्तेमाल करें:
- “हर पैकेट में 6 दही के कप हैं। हमारे पास 3 पैकेट हैं। कुल कितने कप हुए?”
- “एक टिकट 10 रुपये का है। 4 लोगों के लिए कितना लगेगा?”
- “4 लोगों के लिए 20 स्ट्रॉबेरी हैं। हर किसी को कितनी मिलेंगी?”
ऐसे शब्द-सवाल दिखाते हैं कि पहाड़े काम के हैं, और अक्सर यही बच्चे को आगे बढ़ाता है।
क्या मेरा बच्चा अगले पहाड़े के लिए तैयार है?
आगे बढ़ने से पहले यह छोटी जाँच करें:
- वह समझा सकता है कि गुणनफल का मतलब क्या है (“7 के 6 समूह”)।
- वह उस पहाड़े की तरकीब इस्तेमाल कर सकता है।
- वह ज़्यादातर गुणनफल लगभग 3 सेकंड में, एक-एक गिने बिना बता देता है।
- मिलाकर पूछने पर भी उसे पुराने पहाड़ों के गुणनफल याद हैं।
अगर इनमें से दो या ज़्यादा कमज़ोर हैं, तो एक हफ़्ता और उसी पहाड़े पर रुकें। यह सामान्य है।
जब बच्चा अटक जाए या परेशान हो
ज़्यादातर बच्चों का कोई न कोई हफ़्ता मुश्किल होता है। कुछ बातें जो काम आती हैं:
- काम छोटा करें। 10 नहीं, 3 गुणनफल का अभ्यास करें।
- एक चरण पीछे जाएँ। अगर 6 × 7 याद नहीं रहता, तो उसे फिर से चीज़ों से बनाएँ। समझ अक्सर गुणनफल को टिकाने में मदद करती है।
- प्रगति दिखाएँ। याद गुणनफलों की एक तालिका जो धीरे-धीरे भरती जाए, बहुत प्रेरित करती है।
- टाइमर छोड़ दें, अगर उससे तनाव होता है। रफ़्तार आत्मविश्वास के बाद आती है।
- शिक्षक से बात करें, अगर आपके बच्चे को गिनना, संख्याओं की तुलना या छोटे जोड़ भी बहुत मुश्किल लगते हैं। शिक्षक कई बच्चों को देखते हैं और बता सकते हैं कि ज़्यादा सहारा देना ठीक रहेगा या नहीं।
लगभग हर बच्चे के लिए पहाड़ों में समय लगता है। रोज़ के शांत 5 मिनट, रविवार के एक लंबे और तनाव भरे घंटे से आपको ज़्यादा आगे ले जाएँगे।
अभिभावक अक्सर क्या पूछते हैं
बच्चे किस उम्र में गुणा सीखते हैं?
ज़्यादातर बच्चे लगभग 7 या 8 साल की उम्र में शुरू करते हैं। कई देशों में बच्चे इसे 7 से 9 साल के बीच सीखते हैं। अमेरिका में Common Core मानक दूसरी कक्षा में पंक्तियों और बार-बार जोड़ने की समझ बनाते हैं, तीसरी कक्षा में गुणा सिखाते हैं और उस साल के अंत तक एक अंक वाली दो संख्याओं के सभी गुणनफल याद होने की उम्मीद करते हैं।
क्या बच्चे को पहाड़े याद करने से पहले गुणा समझना चाहिए?
हाँ। जो बच्चा जानता है कि 3 × 4 का मतलब 4 के 3 समूह है, वह भूला हुआ गुणनफल खुद निकाल सकता है। याद कराना शुरू करने से पहले एक-दो हफ़्ते बराबर समूहों और पंक्तियों पर लगाएँ।
कौन सा पहाड़ा पहले सीखना चाहिए?
उन पहाड़ों से शुरू करें जिनमें साफ़ पैटर्न है: 1, 10, 2 और 5। फिर 11, 4, 3 और 9। 6, 8, 7 और 12 को आख़िर के लिए रखें, क्योंकि तब तक इनके ज़्यादातर गुणनफल पिछले पहाड़ों से पहले ही आ चुके होते हैं।
पहाड़े सीखने में कितना समय लगता है?
यह बच्चे पर निर्भर करता है। कई बच्चे रोज़ थोड़े अभ्यास से हर हफ़्ते या दो हफ़्ते में एक नया पहाड़ा सीख लेते हैं। धीरे चलना भी ठीक है। पहाड़ा पक्का होने से पहले आगे बढ़ने पर आमतौर पर बाद में ज़्यादा समय लगता है।
मेरा बच्चा अगले दिन गुणनफल भूल जाता है। क्या मदद करेगा?
लंबे सत्रों से ज़्यादा छोटा और नियमित अभ्यास काम आता है। रोज़ कुछ पुराने गुणनफल भी मिलाएँ, ताकि पिछले पहाड़े ताज़ा रहें, और हर सत्र लगभग 5 मिनट का रखें।
क्या गाने और बोल-बोलकर दोहराना काम करता है?
गाने पहाड़ों को जाना-पहचाना बना सकते हैं, लेकिन याददाश्त से जवाब देना ज़्यादा असरदार लगता है। 2023 के एक अध्ययन में फ़्लैशकार्ड से अभ्यास करने वाले दूसरी कक्षा के बच्चे, वही गुणनफल ज़ोर से दोहराने वाले बच्चों से बेहतर रहे।
क्या पहाड़ों में मुश्किल होना सीखने की कठिनाई का संकेत हो सकता है?
कई बच्चों को पहाड़े मुश्किल लगते हैं, इसलिए सिर्फ़ यह संकेत नहीं है। अगर आपके बच्चे को गिनने, संख्याओं की तुलना करने या छोटे जोड़ में भी परेशानी होती है, तो उनके शिक्षक से बात करें।
